如图,在三棱锥中,,,,.
(Ⅰ)求证;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)求点到平面的距离.
(Ⅰ)略,(Ⅱ),(Ⅲ)
解法一
(Ⅰ)取中点,连结.
,
.
,
.
,
平面.
平面,
.
(Ⅱ),,
.
又,
.
又,即,且,
平面.
取中点.连结.
,.
是在平面内的射影,
.
是二面角的平面角.
在中,,,,
.
二面角的大小为.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知平面,
平面平面.
过作,垂足为.
平面平面,
平面.
的长即为点到平面的距离.
由(Ⅰ)知,又,且,
平面.
平面,
.
在中,,,
.
.
点到平面的距离为.
解法二
(Ⅰ),,
.
又,
.
,
平面.
平面,
.
(Ⅱ)如图,以为原点建立空间直角坐标系.
则.
设.
,
,.
取中点,连结.
,,
,.
是二面角的平面角.
,,,
.
二面角的大小为.
(Ⅲ),
在平面内的射影为正的中心,且的长为点到平面的距离.
如(Ⅱ)建立空间直角坐标系.
,
点的坐标为.
.
点到平面的距离为.
科目:高中数学 来源:2013届广西玉林市高二下学期三月月考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
如图,在三棱锥中,侧面与侧面均为等边三角形,,为中点.
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值. (本题12分)
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年浙江省台州市高三上学期期末理科数学试卷 题型:解答题
如图,在三棱锥中, 两两垂直且相等,过的中点作平面∥,且分别交于,交的延长线于.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.
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科目:高中数学 来源:2011---2012学年四川省高二10月考数学试卷 题型:解答题
如图:在三棱锥中,已知点、、分别为棱、、的中点.
(Ⅰ)求证:∥平面;
(Ⅱ)若,,求证:平面⊥平面.
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科目:高中数学 来源:黑龙江省2013届高一下学期期末考试数学(理) 题型:解答题
如图,在三棱锥中,,为中点。(1)求证:平面
(2)在线段上是否存在一点,使二面角的平面角的余弦值为?若存在,确定点位置;若不存在,说明理由。
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