Question

三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB边中点，且CC₁=2AB．
（Ⅰ）求证：平面C₁CD⊥平面ABC；
（Ⅱ）求证：AC₁∥平面CDB1；
（Ⅲ）求三棱锥D﹣CBB₁的体积．

Answer 1

证明：（Ⅰ）因为CC₁⊥平面ABC，
又CC₁平面C₁CD，
所以平面C₁CD⊥平面ABC．
（Ⅱ）证明：连接BC₁交B₁C于点O，连接DO．
则O是BC₁的中点，DO是△BAC₁的中位线． 所以DO∥AC₁．
因为DO平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，
所以AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅲ）解：因为CC₁⊥平面ABC，
所以BB₁⊥平面ABC．
所以BB₁为三棱锥D﹣CBB₁的高．
=．
所以三棱锥D﹣CBB₁的体积为．