Question

（2009•卢湾区二模）已知函数f（x）=|2^x-1-1|，（x∈R）．
（1）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，并指出函数f（x）在区间（-∞，1）上的单调性；
（2）若函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点A（m，t），B（n，t），其中m＜n，求m+n的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数单调性的证明，通常依据定义，步骤为：取值，作差，变形，定号，下结论，由于与指数函数有关，求解时要利用到指数函数的单调性；
（2）由（1）可知，函数的值域为（0，1），要使函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1）又函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，所以A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故可以求出m+n，进而由t∈（0，1），可求m+n的取值范围．

解答：解：（1）证明：任取x₁∈（1，+∞），x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=|2x1-1-1|-|2x2-1-1|=(2x1-1-1)-(2x2-1-1)=2x1-1-2x2-1=

1

2

(2x1-2x2)，∵x₁＜x₂，∴2x1＜2x2，
∴2x1-2x2＜0，∴f（x₁）＜f（x₂）．
所以f（x）在区间（1，+∞）上为增函数．（5分）
函数f（x）在区间（-∞，1）上为减函数．（6分）
（2）因为函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，相应的函数值为（0，+∞），在区间（-∞，1）上为减函数，相应的函数值为（0，1），由题意函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1），（8分）
易知A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故2^m-1-1＜0，2^n-1-1＞0，又A，B两点的坐标满足方程t=|2^x-1-1|，故得t=1-2^m-1，t=2^n-1-1，即m=log₂（2-2t），n=log₂（2+2t），（12分）
故m+n=log₂（2-2t）+log₂（2+2t）=log₂（4-4t²），
当0＜t＜1时，0＜4-4t²＜4，-∞＜log₂（4-4t²）＜2．
因此，m+n的取值范围为（-∞，2）．（17分）

点评：本题的考点是指数函数综合问题，主要考查函数单调性的证明，考查函数图形的性质，有较强的综合性．依据定义，证明函数的单调性的步骤通常为：取值，作差，变形，定号，下结论