Question

下列函数中：（1）y=|x+

1

x

|（2）y=

x2+5

x2+4

（3）y=

x

+

4

x

-2（4）y=

x2-2x+4

x

，其中最小值为2的函数是

（1）、（3）

（填正确命题的序号）

Answer 1

分析：（1）由y=|x+

1

x

|=|x|+|

1

x

|，利用基本不等式可求
（2）y=

x2+5

x2+4

=

x2+4+1

x2+4

=

x2+4

+

1

x2+4

，结合函数的 单调性可求
（3）当x＞0（4）y=

x2-2x+4

x

，y=

x

+

4

x

-2利用基本不等式可求
（4）当x＜0时，y=

x2-2x+4

x

=x+

4

x

-2不满足题意

解答：解：（1）∵y=|x+

1

x

|=|x|+|

1

x

|≥2，即函数的最小值为2
（2）y=

x2+5

x2+4

=

x2+4+1

x2+4

=

x2+4

+

1

x2+4

令m=

x2+4

，则m≥2，y=m+

1

m

在[2，+∞）单调递增，即m=2时函数有最小值

5

2

（3）当x＞0（4）y=

x2-2x+4

x

，y=

x

+

4

x

-2≥2

4 x • x

-2=2，当且仅当

x

=

4

x

即x=4时取等号，即函数的最小值2
（4）当x＞0时，y=

x2-2x+4

x

=x+

4

x

-2≥2，但是当x＜0时，不满足题意
故答案为：（1）（3）

点评：本题主要考查了基本不等式求解函数最值的应用，解题的关键是判断基本不等式的应用条件．