Question

18．已知直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ x=m+\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ²cos2θ=1．
（1）以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程；
（2）若求直线，被曲线C截得的弦长为$2\sqrt{10}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式、直角坐标与极坐标的互化公式即可得出．
（2）直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ x=m+\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），代入双曲线方程：3t²-4mt+4-4m²=0，利用$2\sqrt{10}$=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为：ρ²cos2θ=1，即：ρ²（cos²θ-sin²θ）=1．
∴x²-y²=1．
（2）直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ x=m+\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），代入双曲线方程：3t²-4mt+4-4m²=0，
△=16m²-12（4-4m²）＞0，解得：m²$＞\frac{3}{4}$．
t₁+t₂=$\frac{4m}{3}$，t₁t₂=$\frac{4-4{m}^{2}}{3}$．
∴$2\sqrt{10}$=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{\frac{16{m}^{2}}{9}-\frac{4（4-4{m}^{2}）}{9}}$，
解得m=$±\frac{\sqrt{47}}{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与双曲线相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．