Question

直角三角形ABC所在平面内有一条过直角顶点C的直线l，且三角形在l的一侧，求△ABC以l为轴旋转一周所得旋转体体积V的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

分析 如图，记上下底面半径为r，R，AC＝b，BC＝a，AB＝c，引入变量α是直线l与AC边的交角，于是r＝bsinα，R＝acosα，又E，F分别是上、下底面圆的圆心，＝EC＝bcosα，＝FC＝asinα，设以△AEC绕l旋转一周的体积为，以△CBF绕l旋转一周的体积为，以梯形ABFE绕l旋转一周的体积为，则有V＝－(＋)＝()()－()＝π(＋＋＋)(*)．把r＝bsinα，R＝acosα，＝bcosα，＝asinα及代入(*)并化简，得V＝(acosα＋bsinα)＝，其中，∴．所以V的最大值为，此时，C是EF的中点．