Question

（2012•济南二模）如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=

1

2

AP=2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD．

（1）求证：平面PCD⊥平面PAD；
（2）求二面角G-EF-D的大小；
（3）求三棱椎D-PAB的体积．

Answer 1

分析：（1）由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥CD，根据CD⊥AD，可得CD⊥平面PAD，利用面面垂直的判定，可得平面PCD⊥平面PAD；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面EFG的法向量

n

=（1，0，1），平面PCD的一个法向量

DA

=（1，0，0），利用向量的夹角公式，可得二面角G-EF-D的平面角；
（3）利用等体积转化，可求三棱椎D-PAB的体积．

解答：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PD⊥CD…（1分）
∵CD⊥AD，PD∩AD=D
∴CD⊥平面PAD…（2分）
∵CD?平面PCD
∴平面PCD⊥平面PAD…（3分）
（2）解：如图以D为原点，以

DA

，

DC

，

DP

为方向向量建立空间直角坐标系D-xyz，则G（1，2，0），E（0，1，1），F（0，0，1）

EF

=（0，-1，0），

EG

=（1，1，-1）…（5分）
设平面EFG的法向量为

n

=（x，y，z）
∴

n • EF =0 n • EG =0

，∴

-y=0 x+y-z=0

，∴

x=z y=0

．
取

n

=（1，0，1）…（6分）
平面PCD的一个法向量，

DA

=（2，0，0）…（7分）
∴cos＜

DA

，

n

＞=

DA • n

| DA |•| n |

=

2

2 2

=

2

2

…（8分）
结合图知二面角G-EF-D的平面角为45°…（9分）
（3）解：VD-PAB=VP-DAB=

1

3

S△ABD•PD=

1

3

×

1

2

×2×2×2=

4

3

…（12分）

点评：本题考查面面垂直，考查面面角，考查三棱锥体积的计算，解题的关键是掌握面面垂直的判定定理，正确运用空间向量解决面面角问题，属于中档题．