Question

（理）如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD，如图（2）．
①求直线A₁E与平面CBED所成角的正弦值；
②求平面A₁CD与平面A₁BE所成锐角的余弦值；
③在线段BC上是否存在点P，使平面A₁DP与平面A₁BE垂直？若存在，求出CP的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：①建立空间直角坐标系，A₁E与平面CBED所成角为θ，确定平面CBED的法向量

n1

=(0，0，1)，

A1E

=(2，2，-2

3

)利用向量的夹角公式，即可求直线A₁E与平面CBED所成角的正弦值；
②求得平面A₁CD的法向量为

n2

=（1，0，0），平面A₁BE的法向量为

n3

=（2，1，

3

），利用向量的夹角公式，即可求平面A₁CD与平面A₁BE所成锐角的余弦值；
③设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]，求出平面A₁DP法向量为

n4

=（-3a，6，

3

a）假设平面A₁DP与平面A₁BE垂直，则

n4

•

n3

=0，由此可得结论．

解答：解：由题知DE⊥A₁D，DE⊥CD，∴DE⊥平面A₁CD，∴DE⊥A₁C
又BC=3，AC=6，DE∥BC，DE=2，∴A₁D=4，CD=2
又A₁C⊥CD，∴A1C=2

3

且A₁C⊥平面CBED
以

CB

、

CD

、

CA1

为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系C-xyz，
则C（0，0，0），B（3，0，0），D（0，2，0），E（2，2，0），A1(0，0，2

3

)
①设A₁E与平面CBED所成角为θ
∵平面CBED的法向量

n1

=(0，0，1)，

A1E

=(2，2，-2

3

)
∴sinθ=|cos＜

A1E

，

n1

＞|=

2 3

2 5

=

15

5

∴A₁E与平面CBED所成角的正弦值为

15

5

…（7分）
②平面A₁CD的法向量为

n2

=（1，0，0），
设平面A₁BE的法向量为

n3

=（x，y，z）
∵

A1B

=（3，0，-2

3

），

BE

=（-1，2，0）
∴

3x-2 3 z=0 x-2y=0

，∴可取

n3

=（2，1，

3

）
∴cos＜

n2

，

n3

＞=

n2 • n3

| n2 || n3 |

=

2

2

∴平面A₁CD与平面A₁BE所成锐角的余弦值为

2

2

③设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]
∴

A1P

=（0，a，-2

3

），

DP

=（2，a，0）
设平面A₁DP法向量为

n4

=（x₁，y₁，z₁）
则

ay1-2 3 z1=0 2x1+ay1=0

，∴

z1= 3 6 ay1 x1=- 1 2 ay1

∴

n4

=（-3a，6，

3

a）
假设平面A₁DP与平面A₁BE垂直，则

n4

•

n3

=0，
∴3a+12+3a=0，∴a=-2
∵0＜a＜3
∴不存在线段BC上存在点P，使平面A₁DP与平面A₁BE垂直．

点评：本题考查向量知识的运用，考查线面角、面面角，考查面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．