Question

已知（

x

+

3

x

)nⁿ展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中的常数项等于（　　）

• A、135
• B、270
• C、540
• D、1080

Answer 1

分析：本题对于二项式系数的和可以通过赋值令x=1来求解，而各项二项式系数之和由二项式系数公式可知为2ⁿ，最后通过比值关系为64即可求出n的值是6．利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0，求出r，将r的值代入通项求出展开式的常数项．

解答：解：令 (

x

+

3

3 x

)n中x为1得各项系数和为4ⁿ
又展开式的各项二项式系数和为2ⁿ
∵各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64
∴

4n

2n

=64
解得n=6
展开式的通项为 T_r+1=3^rC₆^rx^3-r
令3-r=0得r=3
所以展开式的常数项为 T₄=3³C₆³=540
故选C．

点评：本题考查求展开式的各项系数和的重要方法是赋值法、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，解答关键是利用展开式的各项的二项式系数的和为2ⁿ