Question

证明：对任给的奇素数p，总存在无穷多个正整数n使得p|（n2ⁿ-1）．

Answer 1

分析：取n=（p-1）k，则由费尔马小定理知2^（p-1）k≡1（mod p），证明p|（n2ⁿ-1）即证（p-1）k•2^（p-1）k≡1（mod p），从而可得k=pr-1（r∈N^*），即可证明．

解答：证明：取n=（p-1）k，则由费尔马小定理知2^（p-1）k≡1（mod p），
所以p|（n2ⁿ-1）等价于（p-1）k•2^（p-1）k≡1（mod p），
等价于（p-1）k≡1（mod p），
等价于k≡1（mod p），
取k=pr-1（r∈N^*），
∴n=（p-1）（pr-1），就有（p-1）k•2^（p-1）k≡1（mod p），即p|（n2ⁿ-1）．

点评：本题考查由费尔马小定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用由费尔马小定理是关键．