Question

已知=（5cosx，cosx），=（sinx，2cosx）其中x∈[，]，设函数f（x）=•+||²+
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若f（x）=8，求函数f（x-）的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中=（5cosx，cosx），=（sinx，2cosx）设函数f（x）=•+||²+，根据平面向量的数量积公式，我们易求出函数f（x）的解析式，进而根据二倍角公式和辅助角公式，可将函数f（x）的解析式化为正弦型函数的形式，进而根据正弦型函数的图象和性质及其中x∈[，]，求出函数f（x）的值域；
（2）根据（1）中函数的解析式，及f（x）=8 我们可以求出2x+的正弦值，进而根据2x+的范围求出其余弦值，进而根据f（x-）=5sin2x+5=5sin（2x+-）+5结合两角差的正弦公式得到答案．
解答：解：（1）∵=（5cosx，cosx），=（sinx，2cosx）
函数f（x）=•+||²+=5cosx•sinx+2cosx•cosx+sin²x+4cos²x+…（2分）
=5cosx•sinx+5cos²x+
=sin2x+cos2x+5
=5sin（2x+）+5                              …（5分）
由∵x∈[，]，
∴≤2x+≤，
∴-≤sin（2x+）≤1…（7分）
即x∈[，]时，函数f（x）的值域为[，10]…（8分）
（2）∵f（x）=5sin（2x+）+5=8
则sin（2x+）=，…（9分）
又∵≤2x+≤，
∴cos（2x+）=-  …（11分）
∴f（x-）=5sin2x+5
=5sin（2x+-）+5
=5[sin（2x+）cos-cos（2x+）sin]+5
=5（•+•）+5
=+7 …（14分）
点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，三角函数的图象和性质，二倍角公式，辅助角公式，是平面向量和三角函数比较综合的应用，其中根据平面向量的数量积公式、二倍角公式和辅助角公式，求出函数f（x）的解析式是解答本题的关键．