Question

设f（x）=x²-2|x|+3（-3≤x≤3）
（1）证明f（x）是偶函数；
（2）指出函数f（x）的单调增区间；
（3）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）函数的定义域为{x|-3≤x≤3}，关于原点对称，再验证f（-x）与f（x）的关系，可得结论；
（2）写出分段函数，即可作出函数的图象，从而可得函数f（x）的单调增区间；
（3）根据图象可得函数的值域．

解答：（1）证明：（1）f（x）的定义域为{x|-3≤x≤3}，关于原点对称
又f（-x）=（-x）²-2|-x|+3=x²-2|x|+3=f（x），∴f（x）是偶函数；
（2）解：f(x)=

x2+2x+3=(x+1)2+2(-3≤x≤0) x2-2x+3=(x-1)2+2(0＜x≤3)

作出函数的图象，如图
，
可知：f（x）的单调增区间为[-1，0]和[1，3]
（3）解：由（2）知，x=±1时，函数取得最小值；x=±3时，函数取得最大值
∴函数f（x）的值域为[2，6]．

点评：本题考查函数奇偶性的判定，考查函数的单调性与值域，正确作出函数图象是关键．