Question

（19）四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD.

（Ⅰ）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；

（Ⅱ）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°.

Answer 1

（19）本小题考查线面关系和二面角的概念，以及空间想象能力和逻辑推理能力.

（Ⅰ）解：∵PB⊥面ABCD，

∴BA是PA在面ABCD上的射影.

又DA⊥AB，

∴PA⊥DA，

∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角，∠PAB=60°.而PB是四棱锥P—ABCD的高，

PB=AB·tan60°=a，

 

∴V_锥=a·a²=a³.　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

（Ⅱ）证：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形.

作AE⊥DP，垂足为E，连结EC，则△ADE≌△CDE，

∴AE=CE，∠CED=90°，故∠CEA是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO⊥AC，

∴a=OA＜AE＜AD=a.　　　　　　　　　　　　　　　　　

在△AEC中，cosAEC=

=＜0.

所以，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°.