Question

如图所示，五面体ABCDE中，正ABC的边长为1，AE平面ABC，CD∥AE，且CD=AE．

(I)设CE与平面ABE所成的角为，AE=若求的取值范围；

(Ⅱ)在(I)和条件下，当取得最大值时，求平面BDE与平面ABC所成角的大小．

 

Answer 1

【答案】

解：方法一：

（Ⅰ）取中点,连结、,由为正三角形，得，又，则，可知，所以为与平面所成角．……………2分

，……………4分

因为，得，得.……………6分

（Ⅱ）延长交于点Ｓ，连，

可知平面平面=.………………………7分

由，且，又因为=1，从而，…………………8分

又面，由三垂线定理可知，即为平面与平面所成的角；……………………10分

则，

从而平面与面所成的角的大小为.………………12分

方法二：

解：

（Ⅰ）如图以C为坐标原点，CA、CD为y、z轴，垂直于CA、CD的直线CT为x轴，建立空间直角坐标系（如图），则

设，，，.……………2分

取AB的中点M，则，

易知,ABE的一个法向量为,

由题意.………………4分

由，则，ww..com                           

得.…………………6分

(Ⅱ)由（Ⅰ）知最大值为，则当时，设平面BDE法向量为，则

取，………………8分

又平面ABC法向量为，……………………10分

所以=，

所以平面BDE与平面ABC所成角大小……………………12分

【解析】略