Question

已知抛物线y=x²上有一条长为2的动弦AB，则AB中点M到x轴的最短距离为

3

4

．

Answer 1

分析：设直线AB的方程为y=kx+b，与抛物线方程联立得到△＞0即根与系数的关系，再利用中点坐标公式和基本不等式即可得出．

解答：解：设直线AB的方程为y=kx+b，联立

y=kx+b y=x2

，化为x²-kx-b=0，
由题意可得△=k²+4b＞0．
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-b．
∵|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)(k2+4b)

=2，
∴b=

4-k2-k4

4(1+k2)

．
AB中点M到x轴的距离=

y1+y2

2

=

x 2 1 + x 2 2

2

=

(x1+x2)2-2x1x2

2

=

k2+2b

2

=

k2+ 4-k2-k4 2(1+k2)

2

=

1

4

(k2+1+

4

1+k2

-1)≥

1

4

(2

(k2+1)• 4 k2+1

-1)=

3

4

．
当且仅当k=±1是取等号．
因此AB中点M到x轴的最短距离为

3

4

．
故答案为

3

4

．

点评：熟练掌握抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为与抛物线方程联立得到△＞0即根与系数的关系、中点坐标公式和基本不等式等是解题的关键．