Question

已知动圆M过定点P（0，m）(m>0)，且与定直线相切，动圆圆心M的轨迹方程为C，直线过点P 交曲线C于A、B两点。

(1)若交轴于点S,求的取值范围；

（2）若的倾斜角为，在上是否存在点E使△ABE为正三角形? 若能，求点E的坐标；若不能，说明理由.

Answer 1

（1）    （2）直线l上不存在点E，使得△ABE是正三角形 

解析:

(1)依题意，曲线C是以点P为焦点，直线为准线的抛物线，

所以曲线C的方程为……（2分）

设方程为代入由消去得

设、，则……（3分）

所以的取值范围是……（7分）

（2）由(1)知方程为代入由消去得

，……（8分）

假设存在点，使△ABE为正三角形，则|BE|=|AB|且|AE|=|AB，……（9分）

即……（11分）

若，则

因此，直线l上不存在点E，使得△ABE是正三角形. ……（12分）

解法二：设AB的中点为G，则……（8分）

由联立方程

与方程求得……（10分）

由得，矛盾

因此，直线l上不存在点E，使得△ABE是正三角形. ……（12分）