Question

在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上有一点M，F₁、F₂是椭圆的左、右焦点，若|

MF1

|•|

MF2

|=2b2，则椭圆离心率的取值范围是（　　）

• A．(

  3

  2

  ，1)
• B．[

  2

  2

  ，1)
• C．(0，

  2

  2

  ]
• D．(0，

  3

  2

  )

Answer 1

分析：根据椭圆的定义，得|

MF1

|+|

MF2

|=2a，再由基本不等式，得

| MF1 |•| MF2 |

≤

| MF1 |+| MF2 |

2

=a，代入|

MF1

|•|

MF2

|=2b2，得

2b2

≤a，化简即得椭圆离心率的取值范围．

解答：解：∵点M在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，
∴根据椭圆的定义，得|

MF1

|+|

MF2

|=2a
由基本不等式，有

| MF1 |•| MF2 |

≤

| MF1 |+| MF2 |

2

=a
∵|

MF1

|•|

MF2

|=2b2
∴

2b2

≤a，可得2b²≤a²，即2（a²-c²）≤a²
所以a²≤2c²，a≤

2

c，离心率e=

c

a

≥

2

2

∵椭圆的离心率e∈（0，1）
∴

2

2

≤e＜1
故选B

点评：本题给出椭圆上动点到椭圆两焦点距离之积为常数2b²，求椭圆离心率的取值范围，着重考查了基本不等式和椭圆的基本概念等知识，属于基础题．