Question

设函数f（x）=e^x．
（I）求证：f（x）≥ex；
（II）记曲线y=f（x）在点P（t，f（t））（其中t＜0）处的切线为l，若l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S，求S的最大值．

Answer 1

分析：（I）设g（x）=e^x-ex，则g′（x）=e^x-e，由g′（x）=e^x-e=0，得x=1，利用导数性质能够证明f（x）≥ex．
（II）由f′（x）=e^x，知曲线y=f（x）在点P外切线为l：y-e^t=e^t（x-t），切线l与x轴的交点为（t-1，0），与y轴的交战为（0，e^t-te^t），由此入手能够推导出当t=-1时，S有最大值．

解答：（I）证明：设g（x）=e^x-ex，∴g′（x）=e^x-e，
由g′（x）=e^x-e=0，得x=1，
∴在区间（-∞，1）上，g′（x）＜0，
函数g（x）在区间（-∞，1）上单调递减，
在区间（1，+∞）上，g′（x）＞0，
函数g（x）在区间（1，+∞）上单调递增，
g（x）≥g（1）=0，
∴f（x）≥ex．
（II）解：∵f′（x）=e^x，∴曲线y=f（x）在点P外切线为l：y-e^t=e^t（x-t），
切线l与x轴的交点为（t-1，0），与y轴的交战为（0，e^t-te^t），
∵t＜0，∴S=S（t）=

1

2

(1-t)•(1-t)et=

1

2

(1-2t+t2)et，
∴S′=

1

2

et(t2-1)，
在（-∞-1）上，S（t）单调增，在（-1，0）上，S（t）单调减，
∴当t=-1时，S有最大值，此时S=

2

e

．

点评：本题考查不等式的证明，考查三角形面积最大值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的性质和等价转化思想的合理运用．