Question

若不等式3cos³x-2cos2x+1≤k对任何x∈R都成立，则实数k的最小值为

1. A.
   -4
2. B.
   
3. C.
   2
4. D.
   3

Answer 1

D
分析：把已知的不等式的左边第2项利用二倍角的余弦函数公式化简后，合并并设为y，则y小于等于k恒成立，即求出y的最大值，y最大值的求法是，求出函数y的导函数为0时x的值，再考虑闭区间的端点值，根据函数的增减性得到y的最大值．让y的最大值小于等于k即可求出k的范围，进而求出k的最小值，
解答：因为3cos³x-2cos2x+1=3cos³x-2（2cos²x-1）+1=3cos³x-4cos²x+3≤k恒成立，
设y=3x³-4x²+3，x∈[-1，1]，
则y′=9x²-8x=9x（x-），令y′=0，解得x=0或x=，
所以y_max=y（0），y（1）_max=y（0）=3，
则3cos³x-2cos2x+1≤3，即k≥3，所以实数k的最小值为3．
故选D
点评：此题考查学生会利用导数求闭区间上函数的最大值，掌握不等式恒成立时所满足的条件，是一道综合题．