Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2，q≠0）．
（1）设b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），证明{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

（1）证明：由题设a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2），得
a_n+1-a_n=q（a_n-a_n-1），
即b_n=qb_n-1，n≥2．
又b₁=a₂-a₁=1，q≠0，
所以{b_n}是首项为1，公比为q的等比数列．
（2）由（1）可得数列{b_n}的通项公式b_n=q^n-1，
∵b_n=a_n+1-a_n，
∴a_n-a_n-1=q^n-2，
…
a₂-a₁=1，
把上述各式相加，得到a_n-a₁=q^n-2+q^n-3+…+q
∴a_n=

1+ 1-qn-1 1-q ，q≠1 n，q=1