练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

    如图，已知曲线C：y＝x2(0≤x≤1)，O(0，0)，Q(1，0)，R(1，1)．取线段OQ的中点A1，过A1作x轴的垂线交曲线C于P1，过P1作y轴的垂线交RQ于B1，记a1为矩形A1P1B1Q的面积．分别取线段OA1，P1B1的中点A2，A3，过A2，A3分别作x轴的垂线交曲线C于P2，P3，过P2，P3分别作y轴的垂线交A1P1，RB1于B2，B3，记a2为两个矩形A2P2B2 A1与矩形A3P3B3B1的面积之和．以此类推，记an为2n－1个矩形面积之和，从而得数列{an}，设这个数列的前n项和为Sn．

    (Ｉ)求a2与an；

    (Ⅱ)求Sn，并证明Sn＜．

     

    【答案】

    (Ｉ) ，；（Ⅱ）见解析.

    【解析】

    试题分析：（Ⅰ）根据题意先写出各点坐标，再分别求，然后总结与曲线交点坐标，从而再求；（Ⅱ）由（Ⅰ）知的表达式，先把变形为差的形式，再求表达式，利用等比数列前项和公式求，然后把与进行比较，即得证.

    试题解析：(Ｉ) 由题意知P1(，)，故a1＝×＝．

    又P2(，)，P3(，)，

    故a2＝×[＋－]＝×(12＋32－22)＝．

    由题意，对任意的k＝1，2，3，，n，有

    (，)，i＝0，1，2，，2k－1－1，

    故an＝×[＋－＋－＋＋－]

    ＝×[12＋32－22＋52－42＋…＋(2n－1)2－(2n－2)2]

    ＝×{1＋(4×1＋1)＋(4×2＋1)＋…＋[4×(2n－1－1)＋1]}

    ＝×

    ＝．

    所以a2＝，an＝，n∈N*．        10分

    (Ⅱ)由(Ｉ)知an＝，n∈N*，

    故Sn＝－＝－＝．

    又对任意的n∈N*，有＞0，

    所以Sn＝＜．               14分

    考点：1、递推公式；2、等比数列的前n项和公式.

     

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，已知曲线C：y=
    1
    x
    ，Cn：y=
    1
    x+2-n
    (n∈N*)    ．从C上的点Qn（xn，yn）作x轴的垂线，交Cn于点Pn，再从Pn作y轴的垂线，交C于点Qn+1（xn+1，yn+1）．设x1=1，an=xn+1-xn，bn=yn-yn+1．
    （I）求a1，a2，a3的值；
    （II）求数列{an}的通项公式；
    （III）设△PiQiQi+1（i∈N*）和面积为Si，记f(n)=
    n
    i=1
    Si    ，求证f(n)＜
    1
    6
    .

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知曲线C：y=
    1
    x
    在点P（1，1）处的切线与x轴交于点Q1，过点Q1作x轴的垂线交曲线C于点P1，曲线C在点P1处的切线与x轴交于点Q2，过点Q2作x轴的垂线交曲线C于点P2，…，依次得到一系列点P1、P2、…、Pn，设点Pn的坐标为（xn，yn）（n∈N*）．
    （Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；
    （Ⅱ）求三角形OPnPn+1的面积S△OPnPn+1
    （Ⅲ）设直线OPn的斜率为kn，求数列{nkn}的前n项和Sn，并证明Sn＜
    4
    9
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2006•南京二模）如图，已知曲线C：y=
    1
    x
    ，Cn：y=
    1
    x+2-n
    (n∈N*)    ．从C上的点Qn（xn，yn）作x轴的垂线，交Cn于点Pn，再从点Pn作y轴的垂线，交C于点Qn+1（xn+1，yn+1），设x1=1，an=xn+1-xn，bn=yn-yn+1．
    （Ⅰ）求Q1，Q2的坐标；
    （Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
    （Ⅲ）记数列{an•bn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜
    1
    3
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知曲线C：y=
    1
    x
    ，Cn：y=
    1
    x+2-n
    （n∈N*）．从C上的点Qn（xn，yn）作x轴的垂线，交Cn于点Pn，再过点Pn作y轴的垂线，交C于点Qn+1（xn+1，yn+1）设，x1=1，an=xn+1-xn，bn=yn -yn+1．
    （1）求点Q1、Q2的坐标；
    （2）求数列{an} 的通项公式；
    （3）记数列{an•yn+1} 的前n项和为Sn，求证sn＜
    1
    3
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，已知曲线C：y=x2（0≤x≤1），O（0，0），Q（1，0），R（1，1）．取线段OQ的中点A1，过A1作x轴的垂线交曲线C于P1，过P1作y轴的垂线交RQ于B1，记a1为矩形A1P1B1Q的面积．分别取线段OA1，P1B1的中点A2，A3，过A2，A3分别作x轴的垂线交曲线C于P2，P3，过P2，P3分别作y 轴的垂线交A1P1，RB1于B2，B3，记a2为两个矩形A2P2B2A1与矩形A3P3B3B1的面积之和．以此类推，记an为2n-1个矩形面积之和，从而得数列{an}，设这个数列的前n项和为Sn．
    （Ⅰ） 求a2与an；
    （Ⅱ） 求Sn，并证明Sn＜
    13
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案