Question

写出适合下列条件的曲线方程：
（1）a+b=10，c=2

5

求椭圆的标准方程．
（2）已知双曲线两个焦点分别为F₁（-5，0），F₂（5，0），双曲线上一点P到F₁，F₂距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的标准方程与基本量的平方关系，结合题意建立关于a、b、c的方程组，解出a²=36且b²=16，即可得到所求椭圆的标准方程．
（2）设双曲线的标准方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，根据双曲线的定义得2a=6，从而得到a=3，结合c=5利用平方关系算出b²=16，即可得出所求双曲线的标准方程．

解答：解：（1）当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∵

a+b=10 c=2 5 a2=b2+c2

，
解得a²=36，b²=16．
∴椭圆的标准方程为

x2

36

+

y2

16

=1；
当椭圆的焦点在y轴上时，同理可得椭圆方程为

y2

36

+

x2

16

=1．
综上所述，所求椭圆的标准方程为

x2

36

+

y2

16

=1或

y2

36

+

x2

16

=1．
（2）∵双曲线焦点在x轴上，
∴设双曲线的标准方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)
根据双曲线的定义，可得2a=6且2c=10，
∴a=3，c=5，得b²=c²-a²=16，
因此，所求双曲线的标准方程为

x2

9

-

y2

16

=1．

点评：本题给出椭圆、双曲线满足的条件，求它们的标准方程．着重考查了椭圆、双曲线的定义与标准方程等知识，属于基础题．