Question

【题目】如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米， 米，记∠BHE=θ．

（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2）若 ，求此时管道的长度L；
（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．

Answer 1

【答案】
（1）解： ， ，

．

由于 ， ，

所以 ，

所以 ．

所以 ，

（2）解：当 时，

，

（米）

（3）解： ，

设sinθ+cosθ=t，

则 ，

所以 ．

由于 ，

所以 ．

由于 在 上单调递减，

所以当 即 或 时，

L取得最大值 米．

答：当 或 时，污水净化效果最好，此时管道的长度为 米

【解析】（1）由∠BHE=θ，H是AB的中点，易得 ， ， ，由污水净化管道的长度L=EH+FH+EF，则易将污水净化管道的长度L表示为θ的函数．（2）若 ，结合（1）中所得的函数解析式，代入易得管道的长度L的值．（3）污水净化效果最好，即为管道的长度最长，由（1）中所得的函数解析式，结合三角函数的性质，易得结论．