Question

已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大（柱体体积=底面积×高）时，其高的值为（　　）

• A、3

  3

• B、2

  3

• C、

  2 3

  3

• D、

  3

Answer 1

分析：根据正六棱柱和球的对称性，球心O必然是正六棱柱上下底面中心连线的中点，作出过正六棱柱的对角面的轴截面即可得到正六棱柱的底面边长、高和球的半径的关系，在这个关系下求函数取得最值的条件即可求出所要求的量．

解答：解：以正六棱柱的最大对角面作截面，如图．设球心为O，正六棱柱的上下底面中心分别为O₁，O₂，则O是O₁，O₂的中点．设正六棱柱的底面边长为a，高为2h，则a²+h²=9．正六棱柱的体积为V=6×

3

4

a2×2h，即V=

3 3

2

(9-h2)h，则V′=

3 3

2

(9-3h2)，得极值点h=

3

，不难知道这个极值点是极大值点，也是最大值点．故当正六棱柱的体积最大，其高为2

3

．
故选B

点评：本题是在空间几何体、导数的应用交汇处命制，解题的关键是建立正六棱柱体积的函数关系式．考生如果对选修系列四的《不等式选讲》较为熟悉的话，求函数V=

3 3

2

(9-h2)h的条件可以使用三个正数的均值不等式进行，即V=

3 3

2

(9-h2)h=

3 3

2 2

(9-h2)•(9-h2)•2h2

≤

3 6

4

( (9-h2)+(9-h2)+2h2 3 )3

，等号成立的条件是9-h²=2h²．