Question

已知抛物线C₁：y=x²，F为抛物线的焦点，椭圆C₂：

x2

2

+

y2

a2

=1（0＜a＜2）；
（1）若M是C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF|=

3

4

，求实数a的值；
（2）设直线l：y=kx+1与抛物线C₁交于A，B两个不同的点，l与椭圆C₂交于P，Q两个不同点，AB中点为R，PQ中点为S，若O在以RS为直径的圆上，且k 2＞

1

2

，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出M的坐标，利用|MF|=

3

4

，及椭圆方程，即可求实数a的值；
（2）设出直线方程，分别与抛物线、椭圆方程联立，求出R，S的坐标，利用

OS

•

OR

=0，结合条件，即可求得结论．

解答：解：（1）设M（x，y），|MF|=y+

1

4

=

3

4

，y=

1

2

，x²=

1

2

，代入

x2

2

+

y2

a2

=1，

1

4

+

1 4

a2

=1，
∴a²=

1

3

，又0＜a＜2，∴a=

3

3

；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点R（x_R，y_R），
y=kx+1，代入抛物线方程可得到x²-kx-1=0，
x₁+x₂=k，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=k²+2，∴R（

k

2

，

k2+2

2

）
设P（x₃，y₃），B（x₄，y₄），PQ中点S（x_S，y_S），
y=kx+1，代入椭圆方程可得到（2k²+a²）x²+4kx+2-2a²=0，
∴x₃+x₄=

-4k

2k2+a2

，y₃+y₄=k（x₃+x₄）+2=

2a2

2k2+a2

，
∴S（

-2k

2k2+a2

，

a2

2k2+a2

），
由条件知，

OS

•

OR

=0，∴

-2k2

2(2k2+a2)2

+

a2(k2+2)

2(2k2+a2)

=0，
∴-2k²+a²（k²+2）=0，
∴a²=2-

4

k2+2

，
∵k2＞

1

2

，∴k2+2＞

5

2

∴

4

k2+2

∈(0，

8

5

)，
∴a²∈（

2

5

，2），
又0＜a＜2，∴a∈(

10

5

，

2

)，此时△＞0恒成立

点评：本题考查直线与抛物线、椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．