Question

直线l：bx+ay-2a=0与双曲线-

x2

9

+

y2

4

=1只有一个公共点，则直线l的方程是

y=2或y=

2

3

x+2或y=-

2

3

x+2

．

Answer 1

分析：当a=0时，由直线方程知b≠0，直线是y轴，与双曲线由两个交点，不和题意．当a≠0时，化一般式为斜截式，和双曲线方程联立后得到关于x的方程，当二次项系数等于0时，直线与双曲线有一个交点，求出a，b的关系，得到直线方程，当二次项系数不等于0时，由判别式等于0，求出b=0，得另一直线的方程．

解答：解：当a=0时，b≠0，直线l：bx+ay-2a=0化为x=0，与双曲线-

x2

9

+

y2

4

=1有2个公共点，不合题意；
当a≠0时，直线l：bx+ay-2a=0化为y=-

b

a

x+2．
联立

y=- b a x+2 - x2 9 + y2 4 =1

，得（9b²-4a²）x²-36abx=0．
若9b²-4a²=0，即

b

a

=±

2

3

，方程（9b²-4a²）x²-36abx=0有一解，
即直线l：bx+ay-2a=0与双曲线-

x2

9

+

y2

4

=1只有一个公共点，
此时直线l的方程为y=-

2

3

x+2或y=

2

3

x+2；
若9b²-4a²≠0，由△=1296a²b²=0，得b=0．
此时直线l：bx+ay-2a=0化为y=2，与双曲线-

x2

9

+

y2

4

=1只有一个公共点；
综上，直线l：bx+ay-2a=0与双曲线-

x2

9

+

y2

4

=1只有一个公共点的直线l的方程为：
y=2或y=

2

3

x+2或y=-

2

3

x+2．
故答案为：y=2或y=

2

3

x+2或y=-

2

3

x+2．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用判别式法分析方程解得个数，解答此题的关键是明确a，b不能同时为0．此题是中档题．