(08年山东卷理)(本小题满分14分)
如图,设抛物线方程为x2=2py(p>0),M为 直线y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.
(Ⅰ)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列;
(Ⅱ)已知当M点的坐标为(2,-2p)时,,求此时抛物线的方程;
(Ⅲ)是否存在点M,使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上,其中,点C满足(O为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(Ⅰ)证明:由题意设
由得,则
所以
因此直线MA的方程为
直线MB的方程为
所以 ①
②
由①、②得
因此,即
所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,当x0=2时,
将其代入①、②并整理得:
所以 x1、x2是方程的两根,
因此
又
所以
由弦长公式得
又,
所以p=1或p=2,
因此所求抛物线方程为或
(Ⅲ)解:设D(x3,y3),由题意得C(x1+ x2, y1+ y2),
则CD的中点坐标为
设直线AB的方程为
由点Q在直线AB上,并注意到点也在直线AB上,
代入得
若D(x3,y3)在抛物线上,则
因此 x3=0或x3=2x0.
即D(0,0)或
(1)当x0=0时,则,此时,点M(0,-2p)适合题意.
(2)当,对于D(0,0),此时
又AB⊥CD,
所以
即矛盾.
对于因为此时直线CD平行于y轴,
又
所以直线AB与直线CD不垂直,与题设矛盾,
所以时,不存在符合题意的M点.
综上所述,仅存在一点M(0,-2p)适合题意.
科目:高中数学 来源: 题型:
(7)(08年山东卷理)在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…,18的18名火炬手.若从中任选3人,则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为
(A) (B)
(C) (D)
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(7)(08年山东卷理)在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…,18的18名火炬手.若从中任选3人,则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为
(A) (B)
(C) (D)
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(08年山东卷理)右图是根据《山东统计年整2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字,右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字,从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为
(A)304.6 (B)303.6 (C)302.6 (D)301.6
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