Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2x-$\sqrt{2}$y+6=0相切，则椭圆C标准方程$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．

Answer 1

分析 利用直线与圆相切的性质可得：a，再利用$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，b²=a²-c²，即可得出．

解答 解：∵以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2x-$\sqrt{2}$y+6=0相切，
∴$\frac{6}{\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}}$=a，解得a=$\sqrt{6}$，
又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，b²=a²-c²，
解得c=2，b²=2．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．

点评 本题考查了直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．