Question

已知(x2-

1

2x

)n（n∈N^*）的展开式中第四项的系数与第二项的系数的比是7：3．
（Ⅰ）求展开式中各项系数的和；
（Ⅱ）求展开式中常数项．

Answer 1

分析：（I）根据展开式中第四项的系数与第二项的系数的比是7：3，写出这两项的系数的表示式，两者求比，得到n的值，给x赋值得到各项的系数之和．
（II）写出二项式的展开式，整理成最简的结果，使得x的指数等于0，求出第几项，写出这个常数项．

解答：解：（I）∵展开式中第四项的系数与第二项的系数的比是7：3，
∴

C

3 n

(-

1

2

)3 ：

C

1 n

(-

1

2

)1=7：3，
∴n=9，
∴取x=1得到各项系数和为(1-

1

2

)2=

1

512

（II）∵这个二项式的展开式是

C

r n

(x2)n-r(-

1

2

x)r
要求常数项，只要使得x的指数等于0，
∴常数项

21

16

点评：本题考查二项式定理的性质，是一个基础题，这种题目一般不会单独出现，通常与其他的知识点作为综合题目出现，它只是题目的一个小环节，本题解决的关键是写出正确的通项．