Question

10．已知A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外的任意一点，若点P分别满足下列关系：
（1）$\overrightarrow{OA}$$+2\overrightarrow{OB}$=6$\overrightarrow{OP}$$-3\overrightarrow{OC}$；
（2）$\overrightarrow{OP}$$+\overrightarrow{OC}$=4$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$．
试判断点P是否与点A，B，C共面．

Answer 1

分析 将已知化为：$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$的形式，判断x+y+z=1是否成立，可得P与点A，B，C是否共面．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{OA}$$+2\overrightarrow{OB}$=6$\overrightarrow{OP}$$-3\overrightarrow{OC}$，
∴6$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$$+2\overrightarrow{OB}$+$3\overrightarrow{OC}$，
∴$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$，
∵$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$=1，
∴P与点A，B，C共面；
（2）∵$\overrightarrow{OP}$$+\overrightarrow{OC}$=4$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$．
∴$\overrightarrow{OP}$=4$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$．
∵4-1-1≠0，
∴P与点A，B，C不共面．

点评 本题考查的知识点是共面向量，正确理解并熟练掌握四点共面充要条件的向量表示，是解答的关键．