Question

如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．
（I）求证：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BEC．

Answer 1

证明：（I）取DE中点N，连接MN，AN
在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点
∴MN∥CD，且MN=

1

2

CD，
由已知中AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，
∴MN∥AB，且MN=AB
∴四边形ABMN为平行四边形
∴BM∥AN
又∵AN?平面ADEF
BM?平面ADEF
∴BM∥平面ADEF
（II）∵ADEF为正方形
∴ED⊥AD
又∵正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，且ED?平面ADEF
∴ED⊥平面ABCD
∴ED⊥BC
在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BC=2

2

在△BCD中，BD=BC=2

2

，CD=4
∴BC⊥BD
∴BC⊥平面BDE
又∵BC?平面BEC
∴平面BDE⊥平面BEC