Question

（2013•宁德模拟）已知P是函数y=f（x）（x∈[m，n]）图象上的任意一点，M、N为该图象的两个端点，点Q满足

MQ

=λ

MN

，

PQ

•i=0（其中0＜λ＜1，

i

为x轴上的单位向量），若|

PQ

|≤T（T为常数）在区间[m，n]上恒成立，则称y=f（x）在区间[m，n]上具有“T级线性逼近”．现有函数：①y=2x+1；②y=

1

x

；③y=x²．则在区间[1，2]上具有“

1

4

级 线性逼近”的函数的个数为（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：由

MQ

=λ

MN

，可得Q点在线段MN上，由

PQ

•

i

=0，可得P，Q两点的横坐标相等，故|

PQ

|即为P，Q两点纵坐标差的绝对值，分析三个函数中，x∈[1，2]时，|

PQ

|≤

1

4

是否恒成立，可得答案．

解答：解：由

MQ

=λ

MN

，可得Q点在线段MN上，由

PQ

•

i

=0，可得P，Q两点的横坐标相等，故|

PQ

|即为P，Q两点纵坐标差的绝对值，
当f（x）=y=2x+1，x∈[1，2]，则M（1，3），N（2，5），函数y=f（x）的图象即为线段MN，故|

PQ

|=0≤

1

4

恒成立，满足条件；
当f（x）=

1

x

时，则M（1，1），N（2，

1

2

），线段MN的方程为y=-

1

2

x+

3

2

，此时|

PQ

|=-

1

2

x+

3

2

-

1

x

，则|

PQ

|′=-

1

2

+

1

x2

，令|

PQ

|′=0，则x=

2

，故当x=

2

时，|

PQ

|取最大值

3

2

-

2

，故|

PQ

|≤

1

4

恒成立，满足条件；
当f（x）=x²．则M（1，1），N（2，4），线段MN的方程为y=3x-2，此时|

PQ

|=-x²+3x-2，当x=

3

2

时，|

PQ

|取最大值

1

4

，故|

PQ

|≤

1

4

恒成立，满足条件；
故在区间[1，2]上具有“

1

4

级线性逼近”的函数的个数为3个
故选D

点评：本题考查的知识点函数恒成立问题，函数的值域，正确理解“T级线性逼近”定义，是解答的关键．