Question

某个凸多面体有32个面，各面是三角形或五边形，每个顶点处的棱数都相等，则这个凸多面体的顶点数可以是（　　）

• A、60
• B、45
• C、30
• D、15

Answer 1

分析：设出这个凸多面体有n个面是三角形，则是五边形的面有32-n个，写出总棱数的表示式，根据欧拉定理写出v与m的关系式，然后讨论这个不定方程的自然数解．得到结果

解答：解：设这个凸多面体有n个面是三角形，则是五边形的面有32-n个，此时总棱数
E=

3n+5(32-n)

2

=80-n条．
由欧拉定理可知，V+32-E=2，
∴V=50-n．
又设每个顶点处的棱数为m条（其中3≤m≤5且m∈N*），
由于每个顶点处的棱数都相等，则总棱数E=

mV

2

条，
由欧拉定理可知，V=

60

m-2

，
∴50-n=

60

m-2

（其中3≤m≤5且m∈N*）．然后讨论这个不定方程的自然数解：
当m=3时，可得n=-10，不合题意，舍去；
当m=4时，可得n=20，∴V=30；
当m=5时，可得n=30，∴V=20．
故选C．

点评：本题考查欧拉函数与欧拉定理，是一个基础题，解题的关键需要写出所有的可能的情况，这里应用分类讨论思想，注意做到不重不漏．