Question

设F₁（-c，0），F₂（c，0）是椭圆+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P是以|F₁F₂|为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF₁F₂=5∠PF₂F₁，则该椭圆的离心率为    ．

Answer 1

【答案】分析：先根据题意和圆的性质可判断出△PF₁F₂为直角三角形，根据∠PF₁F₂=5∠PF₂F₁，推断出∠PF₁F₂=75°，进而可求得PF₁和PF₂，利用椭圆的定义求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得．
解答：解：由题意△PF₁F₂为直角三角形，且∠P=90°，∠PF₁F₂=75°，F₁F₂=2c，
∴|PF₁|=2ccos75°，|PF₂|=2ccos15°，
由椭圆的定义知，|PF₁|+|PF₂|=2c（cos75°+cos15°）=2c=c=2a，
∴离心率为e===．
故答案为：
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，考查学生的计算能力，属于中档题．