Question

（1）已知x＞0，y＞0，且+=2，求x+y的最小值．
（2）已知x，y∈R⁺，且满足=1，求xy的最大值．
（3）若对任意x＜1，恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题中等式配方得x+y=5+（），利用基本不等式求出当且仅当x=2、y=6时的最小值为6，由此即可得到x+y的最小值；
（2）利用基本不等式，得1=≥2，平方化简即可得到当且仅当x=，y=2时，xy的最大值为；
（3）原不等式化简为（1-x）+≥2-a，结合1-x＞0利用基本不等式求出（1-x）+的最小值为4．由此讨论不等式恒成立，可得4≥2-a，即可求出a的取值范围．
解答：解：（1）由题意得：x+y=（x+y）（+）=5+（）
∵≥2=6------------------（3分）
∴x+y=5+（）≥5+=8，当且仅当x=2，y=6时等号成立
即x+y的最小值是8--------------------------（4分）
（2）因为x、y为正数，所以1=≥2=2
所以≤，平方得xy-------------------------------（7分）
∴当且仅当x=，y=2时，xy的最大值为-------------------------（8分）
（3）不等式，即
整理，得（1-x）+≥2-a
∵x＜1，得1-x＞0为正数
∴（1-x）+≥2=4
即当且仅当1-x=2，即x=-1时，（1-x）+的最小值为4
因此若对任意x＜1，恒成立，即4≥2-a，解之得a≥-2
所以a的取值范围为[-2，+∞）-----------------------------（12分）
点评：本题给出几个等式，求相应的最值，并讨论不等式恒成立．着重考查了基本不等式求最值、不等式恒成立的讨论等知识，属于中档题．