Question

（2012•江西）已知三点O（0，0），A（-2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足|

MA

+

MB

|=

OM

•（

OA

+

OB

）+2．
（1）求曲线C的方程；
（2）动点Q（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l向：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都不相交，交点分别为D，E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值．若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）用坐标表示

MA

，

MB

，从而可得

MA

+

MB

，可求|

MA

+

MB

|，利用向量的数量积，结合M（x，y）满足|

MA

+

MB

|=

OM

•（

OA

+

OB

）+2，可得曲线C的方程；
（2）假设存在点P（0，t）（t＜0），满足条件，则直线PA的方程是y=

t-1

2

x+t，直线PB的方程是y=

1-t

2

x+t
分类讨论：①当-1＜t＜0时，l∥PA，不符合题意；②当t≤-1时，

t-1

2

≤ -1＜

x0

2

，

1-t

2

≥1＞

x0

2

，分别联立方程组，解得D，E的横坐标，进而可得△QAB与△PDE的面积之比，利用其为常数，即可求得结论．

解答：解：（1）由

MA

=（-2-x，1-y），

MB

=（2-x，1-y）可得

MA

+

MB

=（-2x，2-2y），
∴|

MA

+

MB

|=

4x2+(2-2y)2

，

OM

•（

OA

+

OB

）+2=（x，y）•（0，2）+2=2y+2．
由题意可得

4x2+(2-2y)2

=2y+2，化简可得 x²=4y．
（2）假设存在点P（0，t）（t＜0），满足条件，则直线PA的方程是y=

t-1

2

x+t，直线PB的方程是y=

1-t

2

x+t
∵-2＜x₀＜2，∴-1＜

x0

2

＜1
①当-1＜t＜0时，-1＜

t-1

2

＜-

1

2

，存在x₀∈（-2，2），使得

x0

2

=

t-1

2

∴l∥PA，∴当-1＜t＜0时，不符合题意；
②当t≤-1时，

t-1

2

≤ -1＜

x0

2

，

1-t

2

≥1＞

x0

2

，
∴l与直线PA，PB一定相交，分别联立方程组

y= t-1 2 x+t y= x0 2 x- x02 4

，

y= 1-t 2 x+t y= x0 2 x- x02 4

，解得D，E的横坐标分别是xD=

x02+4t

2(x0+1-t)

，xE=

x02+4t

2(x0+t-1)

∴xE-xD= (1-t)

x02+4t

x02 -(t-1)2

∵|FP|=-

x02

4

-t
∴S△PDE=

1

2

|FP||xE-xD|=

t-1

8

×

(x02+4t)2

x02 -(t-1)2

∵S△QAB=

4-x02

2

∴

S△QAB

S△PDE

=

4

1-t

×

x04-[4+(t-1)2]x02+4(t-1)2

x04+8tx02+16t2

∵x₀∈（-2，2），△QAB与△PDE的面积之比是常数
∴

-4-(t-1)2=8t 4(t-1)2=16t2

，解得t=-1，
∴△QAB与△PDE的面积之比是2．

点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查三角形面积的计算，同时考查学生的探究能力，属于难题．