Question

如图，已知抛物线E：y²=x与圆M：（x-4）²+y²=r²(r＞0)相交于A、B、C、D四个点．
(Ⅰ)求r的取值范围；
(Ⅱ)当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．

Answer 1

解：(Ⅰ)将y²=x代入（x-4）²+y²=r²，
并化简得x²-7x+16-r²=0， ①
E与M有四个交点的充要条件是方程①有两个不等的正根x₁、x₂，
由此得，解得，
又r＞0，所以，r的取值范围是。
(Ⅱ)不妨设E与M的四个交点的坐标为：，
则直线AC、BD的方程分别为，
解得点P的坐标为（，0），
设t=，由及(Ⅰ)知，
由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积，
则，
将代入上式，并令，
得f(t)=(7+2t)²(7-2t)=，
求导数，f′(t)=-24t²-56t+98=-2(2t+7)(6t-7)，
令f′(t)=0，解得（舍去），
当时，f′(t)＞0；时，f′(t)=0；时，f′(t)＜0，
故当且仅当时，f(t)有最大值，
即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为。