Question

15．已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且S_n=2a_n-2n对n∈N^*成立，
（1）证明数列{a_n+2}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系化简得a_n=2a_n-1+2，变形为a_n+2=2（a_n-1+2），即可证明；
（2）利用“错位相减法”与等比数列数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：由S_n=2a_n-2n对n∈N^*成立，当n=1时，a₁=S₁，故a₁=2．
当n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1，化简得a_n=2a_n-1+2，即a_n+2=2（a_n-1+2），且a₁+2=4．
故数列{a_n+2}是等比数列，公比为2，首项为4，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2．
（2）解：由（1）知：na_n=n•2ⁿ⁺¹-2n．
令A_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
∴2A_n=2³+2×2⁴+…+n•2ⁿ⁺²，
∴-A_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺²=（1-n）•2ⁿ⁺²-4，
∴A_n=（1-n）•2ⁿ⁺²-4，
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺²+4-n（n+1）．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列数列的前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．