Question

（文）椭圆上存在一点P，使得点P到两焦点距离比为1：2，则椭圆离心率取值范围为

[

1

3

，1)

．

Answer 1

分析：设椭圆上点P到两焦点F₁、F₂距离比为1：2，则PF₁=r，PF₂=2r，可得2a=PF₁+PF₂=3r．再由椭圆上动点P满足|PF₁-PF₂|≤2c，可得

2

3

a≤6c，最后结合椭圆的离心率满足0＜e＜1，得到该椭圆的离心率e的取值范围．

解答：解：设椭圆的两焦点分别为F₁、F₂，
∵点P到两焦点F₁、F₂距离比为1：2，
∴设PF₁=r，则PF₂=2r，可得2a=PF₁+PF₂=3r，r=

2

3

a
∵|PF₁-PF₂|=r≤2c，（当P点在F₂F₁延长线上时，取等号）
∴

2

3

a≤2c，所以椭圆离心率e=

c

a

≥

1

3

又∵椭圆的离心率满足0＜e＜1，
∴该椭圆的离心率e∈[

1

3

，1)
故答案为：[

1

3

，1)

点评：本题在已知椭圆上动点到椭圆两个焦点距离之比等于1：2的情况下，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质，属于基础题．