Question

已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相切，一动圆与l相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程．

Answer 1

分析：设动圆圆心为M（x，y），欲求其轨迹方程，即寻找其坐标x，y之间的关系式，利用圆中线段间的关系结合勾股定理即可得．

解答：解：取过O点且与l平行的直线为x轴，过O点且垂直于l的直线为y轴，建立直角坐标系．
设动圆圆心为M（x，y），
⊙O与⊙M的公共弦为AB，⊙M与l切于点C，则|MA|=|MC|．
∵AB为⊙O的直径，
∴MO垂直平分AB于O．
由勾股定理得|MA|²=|MO|²+|AO|²=x²+y²+9，而|MC|=|y+3|，
∴

x2+y2+9

=|y+3|．
化简得x²=6y，这就是动圆圆心的轨迹方程．

点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题．求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．