Question

已知f(x)=e^x-ax-1,

(1)求f(x)的单调区间;

(2)若f(x)在定义域R内单调递增,求a的取值范围;

(3)是否存在a,使f(x)在(-∞,0］上单调递减,在［0,+∞)上单调递增?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.

Answer 1

解:(1)f′(x)=e^x-a,由f′(x)≥0得e^x≥a.当a≤0时,f′(x)≥0,当a＞0时有x≥lna.

综上知:当a≤0时,f(x)的增区间是(-∞,+∞).当a＞0时,f(x)的增区间是［lna,+∞),减区间是(-∞,lna］.

(2)由e^x-a≥0在R上恒成立得a≤e^x,而x∈R时,e^x∈(0,+∞),∴a≤0.

(3)若f(x)在(-∞,0］上单调递减,则e^x-a≤0在(-∞,0］上恒成立,即a≥e^x,∴a≥1.

若f(x)在［0,+∞)上单调递增,则e^x-a≥0在［0,+∞)上恒成立,即a≤e^x,∴a≤1.

综上知,a=1时满足条件.