Question

　　已知：如图，长方体中，、分别是棱,上的点，,.
　　（1） 求异面直线与所成角的余弦值；
　　（2） 证明平面；
　　（3） 求二面角的正弦值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

Answer 1

 解：
　　法一：
　　如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，
　　设,
　　依题意得,,,
　　（1）易得,,
　　　　 于是
　　　　 所以异面直线与所成角的余弦值为
　　（2）已知,
　　　　 ,
　　　　 于是·=0，·=0.
　　　　 因此，,,又
　　　　 所以平面
　　（3）设平面的法向量，则,即
　　　　 不妨令X=1,可得。
　　　　 由（2）可知，为平面的一个法向量。
　　　　 于是，从而,
　　　　 所以二面角的正弦值为
　　法二：
　　（1）设AB=1，可得AD=2,AA₁=4,CF=1.CE=
　　　　 连接B₁C,BC₁，设B₁C与BC₁交于点M,易知A₁D∥B₁C，
　　　　 由,可知EF∥BC₁.
　　　　 故是异面直线EF与A₁D所成的角，
　　　　 易知BM=CM=,
　　　　 所以 ,
　　　　 所以异面直线FE与A₁D所成角的余弦值为
　　（2）连接AC，设AC与DE交点N 因为，
　　　　 所以，从而，
　　　　 又由于,所以，
　　　　 故AC⊥DE,又因为CC₁⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，从而AF⊥DE.
　　　　 连接BF，同理可证B₁C⊥平面ABF,从而AF⊥B₁C,
　　　　 所以AF⊥A₁D因为，所以AF⊥平面A₁ED.
　　（3）连接A₁N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,
　　　　 又NF平面ACF, A₁N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A₁N,
　　　　 故为二面角A₁-ED-F的平面角.
　　　　 易知，所以，
　　　　 又所以，
　　　　 在
　　　　 ,
　　　　 连接A₁C₁,A₁F 在
　　　　 。所以
　　　　 所以二面角A₁-DE-F正弦值为.