Question

设二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N*)有两个实根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．
（1）试用a_n表示a_n+1；
（2）求证：{a_n-

2

3

}是等比数列．

Answer 1

分析：（1）由二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N*)有两个实根α和β，知α+β=

an+1

an

，αβ=

1

an

，由6α-2αβ+6β=3，得

6an+1

an

-

2

an

= 3，由此能用用a_n表示a_n+1．
（2）由an+1=

1

2

an+

1

3

，知an+1-

2

3

=

1

2

(an-

2

3

)，由此能够证明{an-

2

3

}是等比数列．

解答：（1）解：∵二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N*)有两个实根α和β，
∴α+β=

an+1

an

，αβ=

1

an

，
∵6α-2αβ+6β=3，∴

6an+1

an

-

2

an

= 3，
即6a_n+1-2=3a_n，得an+1=

1

2

an+

1

3

．
（2）证明：∵an+1=

1

2

an+

1

3

，
∴an+1-

2

3

=

1

2

an+

1

3

-

2

3

=

1

2

an-

1

3

，
∴an+1-

2

3

=

1

2

(an-

2

3

)，
所以{an-

2

3

}是等比数列．

点评：本题考查根与系数的关系的应用和等比数列的证明，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．