Question

已知一个椭圆的两个焦点分别为F₁(-1,0),F₂(1,0),直线x=4是这个椭圆的一条准线.

(1)求椭圆的方程;

(2)设点P在椭圆上,且|PF₁|-|PF₂|＞0,求的最小值；

(3)过F₂任意作一条直线l交y轴于点M，交椭圆于点A、B.若=λ₁₂，=λ₂₂，求λ₁+λ₂的值.

Answer 1

解:(1)由已知c=1,=4,则A=2,b=.?

∴椭圆方程为.                                                                                    ?

(2)设P(x₀,y₀),由||-||＞0,得0＜x₀≤2.?

∵||=2+x₀,||=2-x₀,?

∴||-||=x₀.                                                                                                  ?

∵=(-1-x₀,-y₀), =(1-x₀,-y₀),?

∴·=（-1-x₀）（1-x₀）+（-y₀）²=x₀²+y₀²-1，                                               ?

则==＝(x₀+）.                            ?

∵函数y=x+在(0,2］上为减函数,?

∴当且仅当x₀=2时,取得最小值（2+）=.                           ??

（3）设M（0，b），则由定比分点坐标公式可知?

A（,）,B(,),                                                                  ?

∵A、B在椭圆上，则?                    ?

消去B得3（λ₁²-λ₂²）=12 ［（1+λ₁）²-（1+λ₂）²］，?

又∵λ₁≠λ₂，?

∴λ₁+λ₂=-.