Question

（本题满分12分）
已知整数列满足，，前项依次成等差数列，从第项起依次成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)求出所有的正整数，使得．

Answer 1

解：(1) 设数列前6项的公差为d，则a₅=－1+2d，a₆=－1+3d，d为整数.
又a₅，a₆，a₇成等比数列，所以(3d－1)²=4(2d－1)，
即  9d²－14d+5=0，得d ="1.                "                 …………………3分
当n≤6时，a_n =n－4，
由此a₅=1，a₆=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2，
所以，当n≥5时，a_n =2^n-5.
故                            …………………6分
(2) 由（1）知，数列为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，…
当m=1时等式成立，即－3－2－1=―6=(－3)(－2)(－1)；
当m=3时等式成立，即－1+0+1=0； 
当m=2、4时等式不成立；                          …………………9分
当m≥5时，a_ma_m+1a_m+2=2^3m-12，a_m +a_m+1+a_m+2=2^m-5(2³－1)=7×2^m-5，
7×2^m-5≠2^3m-12，
所以a_m +a_m+1+a_m+2≠a_ma_m+1a_m+2 .                                            
故所求m= 1，或m=3．                            …………………12分

略