Question

（1）已知A（-1，2），B（2，8），

AC

=

1

3

AB

，

DA

=-

2

3

AB

，求

CD

的坐标．
（2）如图，过△OAB的重心G的直线与边OA、OB分别交于P、Q，设O

P

=h

OA

，O

Q

=k

OB

，求证：

1

h

+

1

k

是常数．

Answer 1

分析：（1）由A、B的坐标算出

AB

=（3，6），从而算出

AC

、

DA

的坐标，得出

DC

=

DA

+

AC

=(-1，-2)，可得向量

CD

的坐标．
（2）由点G为△OAB的重心得

OG

=

2

3

OM

=

1

3

OA

+

1

3

OB

．设

PG

=λ

GQ

，变形整理得到

OG

=

1

1+λ

OP

+

λ

1+λ

OQ

，结合题意整理得

h

1+λ

OA

+

kλ

1+λ

k

OB

=

1

3

OA

+

1

3

OB

．根据平面向量基本定理建立关于λ、h和k的方程组，消去λ并化简可得

1

h

+

1

k

=3．

解答：解：（1）∵A（-1，2），B（2，8），
∴

AB

=（3，6），可得

AC

=

1

3

AB

=（1，2），

DA

=-

2

3

AB

=（-2，-4），
∴

DC

=

DA

+

AC

=(-1，-2)，可得

CD

=-

DC

=（1，2）．
（2）证明：∵OM是△OAB的中线，G为重心，O、G、M三点共线，
∴

OM

=

1

2

OA

+

1

2

OB

，得

OG

=

2

3

OM

=

1

3

OA

+

1

3

OB

，
设

PG

=λ

GQ

，则

OG

-

OP

=λ(

OQ

-

OG

)，
化简得

OG

=

1

1+λ

OP

+

λ

1+λ

OQ

，
因此

1

1+λ

OP

+

λ

1+λ

OQ

=

1

3

OA

+

1

3

OB

，
又∵

OP

=h

OA

，

OQ

=k

OB

，
∴

1

1+λ

（h

OA

）+

λ

1+λ

（k

OB

）=

1

3

OA

+

1

3

OB

．
∵向量

OA

、

OB

是不共线的向量，
∴由平面向量基本定理，得

h

1+λ

=

kλ

1+λ

=

1

3

，可得

1 3h = 1 1+λ 1 3k = λ 1+λ

，消去λ得

1

h

+

1

k

=3（常数）．

点评：本题考查了平面向量的坐标运算法则、三角形重心的性质和平面向量基本定理及其应用等知识，属于中档题．