Question

如图所示，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长均为2，侧棱与底面所成角为

π

3

，且侧面ABB₁A₁垂直于底面．
（1）判断B₁C与C₁A是否垂直，并证明你的结论；
（2）求四棱锥B-ACC₁A₁的体积．

Answer 1

分析：（1）判断知，B₁C与C₁A垂直，可在平面BA₁内，过B₁作B₁D⊥AB于D，证明B₁C⊥平面ABC₁，再由线面垂直的定义得出线线垂直；
（2）由图形知，VB-ACC1A1=2VB-A1AC=2VA1-ABC，变换棱锥的底与高后，求出它的体积即可；

解答：解：（1）B₁C⊥C₁A证明如下：
在平面BA₁内，过B₁作B₁D⊥AB于D，
∵侧面BA₁⊥平面ABC，
∴B₁D⊥平面ABC，∠B₁BA是BB₁与平面ABC所成的角，
∴∠B₁BA=60°，连接BC₁，∵BB₁CC₁是菱形，
∴BC₁⊥B₁C，CD⊥平面A₁B，B₁D⊥AB，
∴B₁C⊥AB，
∴B₁C⊥平面ABC₁，
∴B₁C⊥C₁A．
（2）解：由题意及图，VB-ACC1A1=2VB-A1AC=2VA1-ABC=2×

1

3

×

3

4

×4×

3

=2
答：四棱锥B-ACC₁A₁的体积为2

点评：本题考查直线与平面所成角的定义，线面垂直的判定定理，线面垂直的定义，解题的关键是证明B₁C⊥平面ABC₁，由线面垂直证明线线垂直是立体几何中证明线线垂直常用的方法，第二小题中，变换棱锥的高与底，是求体积时常用的技巧，其特征是变换后，棱锥的底与高易求