Question

（理）已知等差数列{a_n}中，a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，令b_n=a_na_n+1，数列{

1

bn

}的前n项和为T_n．n∈N*．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求证：Tn＜

1

3

；
（3）通过对数列{T_n}的探究，写出“T₁，T_m，T_n成等比数列”的一个真命题并说明理由（1＜m＜n，m，n∈N*）．
说明：对于第（3）题，将根据对问题探究的完整性，给予不同的评分．

Answer 1

分析：（1）由已知，利用通项公式，列出关于a₁，d的关系式，并解即可．
（2）在（1）的基础上能得出

1

bn

=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

(

1

3n-2

-

1

3n+1

)，裂项后求和．
（3）根据等比数列的定义，应有(

m

3m+1

)2=

1

4

n

3n+1

即

6m+1

m2

=

3n+4

n

．通过此二元方程解的情况去解决．

解答：（1）设数列{a_n}的公差为d，由a₃=a₁+2d=7，a₁+a₂+a₃=3a₁+3d=12．解得a₁=1，d=3∴a_n=3n-2．n∈N*…（4分）
（2）b_n=a_na_n+1=（3n-2）（3n+1）
∴

1

bn

=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

(

1

3n-2

-

1

3n+1

)∴Tn=

1

3

(1-

1

3n+1

)＜

1

3

；（8分）
（3）由（2）知，Tn=

n

3n+1

∴T1=

1

4

，Tm=

m

3m+1

，Tn=

n

3n+1

若T₁，T_m，T_n成等比数列，则(

m

3m+1

)2=

1

4

n

3n+1

即

6m+1

m2

=

3n+4

n

．…（10分）
以下（6分）按3个层次评分
第一层次满分（3分）：
例如：因为

3n+4

n

=3+

4

n

＞3，所以只有满足

6m+1

m2

＞3的大于1的正整数m，才有可能使得

6m+1

m2

=

3n+4

n

成立                           …（13分）
或者取具体数值探究如：
当m=2时，

13

4

=

3n+4

n

，n=16，符合题意；
当m=3时，

19

9

=

3n+4

n

，n无正整数解；
当m=4时，

25

16

=

3n+4

n

，n无正整数解；
当m=5时，

31

25

=

3n+4

n

，n无正整数解；
当m=6时，

37

36

=

3n+4

n

，n无正整数解；         …（13分）
或者描述性说明，如：
因为

lim

n→∞

3n+4

n

=3，

lim

m→∞

6m+1

m2

=0，所以只有当m取值较小时，才有可能使得

6m+1

m2

=

3n+4

n

成立                                  …（13分）
第二层次3+（2分）：
在第一层次的基础上继续探究，并明确指出：当正整数m=2，n=16时，T₁，T_m，T_n成等比数列．如：
不等式

6m+1

m2

＞3即3m²-6m-1＜0，解得1-

2 3

3

＜m＜1+

2 3

3

，所以m=1（舍去），m=2．当m=2时，

13

4

=

3n+4

n

，n=16，符合题意；所以当正整数m=2，n=16时，T₁，T_m，T_n成等比数列．…（15分）
（注：1-

2 3

3

≈-0.155，1+

2 3

3

≈2.155）
或者如：当m≥7时，m²-6m-1=（m-3）²-10＞0，则

6m+1

m2

＜1，而

3n+4

n

=3+

4

n

＞3，所以，此时不存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列．所以当正整数m=2，n=16时，T₁，T_m，T_n成等比数列．…（15分）
第三层次5+（1分）：
在前面探索的基础上，写出“T₁，T_m，T_n成等比数列”的真命题：当且仅当正整数m=2，n=16时，T₁，T_m，T_n成等比数列．…（16分）
（说明：对问题探究的完整性体现在过程中即可）

点评：本题考查等差数列定义、通项公式、裂项法求和．不定方程解的判断．考查分析解决问题、计算能力．