Question

若x_i＞0（i=1，2，3，…，n），观察下列不等式：（x₁+x₂）（

1

x1

+

1

x2

）≥4，（x₁+x₂+x₃）（

1

x1

+

1

x2

+ 

1

x3

）≥9，…，

请你猜测（x₁+x₂+…+x_n）（

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

）满足的不等式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

分析：根据不等式：（x₁+x₂）（

1

x1

+

1

x2

）≥4，（x₁+x₂+x₃）（

1

x1

+

1

x2

+ 

1

x3

）≥9，…，可以猜测（x₁+x₂+…+x_n）（

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

）≥n²（n≥2），再用数学归纳法证明．

解答：解：满足的不等式为（x₁+x₂+…+x_n）（

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

）≥n²（n≥2），
证明如下：
（1）当n=2时，猜想成立；
（2）假设当n=k时，猜想成立，即（x₁+x₂+…+x_n）（

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

）≥k²，
那么n=k+1时，（x₁+x₂+…+x_k+1）（

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xk

）≥k²+2k+1=（k+1）²
则当n=k+1时猜想也成立，根据（1）（2）可得猜想对任意的n∈N，n≥2都成立．

点评：本题以已知不等式为载体，考查类比推理，考查数学归纳法，关键是第二步，同时应注意利用归纳假设．