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(2011•黑龙江一模)已知三棱柱ABC-A1B1C1,底面三角形ABC为正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=2,AA1=4,E为AA1的中点,F为BC中点.
(1)求证:直线AF∥平面BEC1
(2)求平面BEC1和平面ABC所成的锐二面角的余弦值.
分析:方法一(1)取BC1的中点为R,连接RE,RF,通过证明四边形AFRE为平行四边形 得出AF∥RE,再证出直线AF∥平面BEC1
(2)延长C1E交CA延长线于点Q,连接QB,则∠C1BC为平面BEC1和平面ABC所成的锐二面角的平面角.在△BCC1中求解即可.
方法二:
(1)以点F为坐标原点,FA为x轴,FB为y轴,FS为z轴建立空间直角坐标系,设平面BEC1的法向量为
m
,可以利用
AF
m
来证明.
(2)利用BEC1的一个法向量与平面ABC一个法向量夹角求出二面角A-EC-F的大小.
解答:解:法一(1)取BC1的中点为R,连接RE,RF,
则RF∥CC1,AE∥CC1,且AE=RF,…(3分)
则四边形AFRE为平行四边形,
则AF∥RE,AF?平面REC1.RE?平面REC1.∴AF∥平面REC1.…(6分)
(2)延长C1E交CA延长线于点Q,连接QB,
则QB即为平面BEC1与平面ABC的交线,
由于EA∥C1C,E为AA1的中点,∴A为QC中点,∴QA=AC=AB,
∴∠ABCQ=∠AQB=
1
2
∠CAB=30°,
∴∠CBQ=∠CBA+∠ABQ=60°+30°=90°,
∴BC⊥BQ,又QB⊥B1B,∴QB⊥面C1CBB1
∴C1B⊥BQ,
则∠C1BC为平面BEC1和平面ABC所成的锐二面角的平面角.…(8分)
在△BCC1中,cos∠C1BC=
BC
BC1
=
BC
BC2+CC12
2
2
5
=
5
5

平面BEC1和平面ABC所成的锐二面角的余弦值为
5
5

…(12分)
法二 取B1C1中点为S,连接FS,
以点F为坐标原点,FA为x轴,FB为y轴,FS为z轴建立空间直角坐标系,
A(
3
,0,0),B(0,1,0),F(0,0,0),C(0,-1,0)
A1(
3
,0,4),B1(0,1,4),C(0,-1,4),E(
3
,0,2)
,…(2分)
(1)则
AF
=(-
3
,0,0)
BE
=(
3
,-1,2),
BC1
=(0,-2,4)

设平面BEC1的法向量为
m
=(x1y1z1)

m
BE
=0,
m
BC1
=0
,即
3
x1-y1+2z1=0
-2y1+4z1=0
…(4分)
令y1=2,则x1=0,z1=1,即
m
=(0,2,1)
,所以
AF
m
=0

故直线AF∥平面BEC1.…(6分)
(2)设平面ABC的法向量
n
=(0,0,1)

cosθ=
m
n
|
m
||
n
|
=
5
5

由于平面BEC1和平面ABC所成二面角是锐二面角
所以其余弦值是
5
5

…(12分)
点评:本题考查空间直线、平面位置关系的判断,二面角大小求解,考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力.利用向量这一工具,解决空间几何体问题,能够降低思维难度.
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